Corrigé 
On va commencer par décomposer $Q(X)=X^3+X^2+X+1$, dont $-1$ est racine évidente.
On en déduit
$$Q(X)=(X+1)(X^2+1)=(X+1)(X-i)(X+i).$$
On a $P(X)=Q(X^3)$ et il s'agit maintenant de trouver les racines $3$-ièmes de $-1$, $i$ et $-i$.
On en déduit que
\begin{eqnarray*}
P(X)&=&(X+1)(X-e^{i\pi/3})(X-e^{-i\pi/3})(X-e^{i\pi/2})(X-e^{-i5\pi/6})(X-e^{-i\pi/6})\\
&&(X-e^{-i\pi/2})(X-e^{i5\pi/6})(X-e^{i\pi/6}).
\end{eqnarray*}
Bibm@th
