Enoncé 
Soit $n\in\mathbb N^*$ et $P\in\mathbb C_n[X]$. On note, pour $p<n$, $u_p$ la somme des racines de $P^{(p)}$. Démontrer que
$u_0,\dots,u_{n-1}$ forme une progression arithmétique.
Corrigé 
Écrivons
$$P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_0.$$
Alors, par les relations coefficients/racines, on sait que la somme des racines de $P$ vaut
$u_0=-a_{n-1}/a_n$. Plus généralement, on a
$$P^{(p)}(X)=n(n-1)\dots(n-p+1)a_nX^{n-p}+(n-1)\dots(n-p)a_{n-1}X^{n-p-1}+\dots+p!a_p,$$
de sorte que
$$u_p=-\frac{(n-1)\dots(n-p)}{n(n-1)\dots(n-p+1)}\times\frac{a_{n-1}}{a_n}=-\frac{(n-p)}{n}\times\frac{a_{n-1}}{a_n}.$$
On a donc
$$u_{p+1}-u_p=-\left(\frac{n-p-1}{n}-\frac{n-p}n\right)\times\frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{a_{n-1}}{na_n}.$$
On obtient bien une progression arithmétique de raison $\frac{a_{n-1}}{na_n}$.
Bibm@th
