Enoncé 
Soient $A,B,P\in\mathbb K[X]$ avec $P$ non-constant. On suppose que $A\circ P|B\circ P$.
Démontrer que $A|B$.
Indication 
Écrire à priori la division euclidienne de $B$ par $A$, puis composer par $P$.
Corrigé On écrit la division euclidienne de $B$ par $A$, $B=AQ+R$ avec $\deg(R)<\deg(A)$.
On compose alors par $P$, et on obtient $B\circ P=(A\circ P)\times(Q\circ P)+R\circ P$. Or, le
polynôme $A\circ P$ a pour degré $\deg(A)\times\deg(P)$. Le polynôme $R\circ P$ a pour degré
$\deg(R)\times\deg(P)$. On en déduit que $\deg(R\circ P)<\deg(A\circ P)$ et donc que
$B\circ P=(A\circ P)\times(Q\circ P)+R\circ P$ est la division euclidienne de $B\circ P$ par $A\circ P$.
Mais on sait que $A\circ P|B\circ P$ et donc on en déduit que $R\circ P$ est égal à 0. Ceci n'est possible
que si $R=0$, et donc $A|B$.
Bibm@th
