Enoncé 
Soit $P\in\mathbb R[X]$, $a,b\in\mathbb R$, $a\neq b$. Sachant que le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)$ vaut 1 et que le reste de la division euclidienne de $P$ par $X-b$ vaut $-1$, que vaut le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$?
Indication 
Que vaut $P(a)$? $P(b)$? Comment en déduire le reste?
Corrigé On sait que $P(X)=(X-a)Q_1(x)+1$, et donc $P(a)=1$. De même, on a $P(b)=-1$. La division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$ s'écrit
$$P(X)=(X-a)(X-b)Q(X)+\alpha X+\beta.$$
On évalue cette relation en $a$ et en $b$, et on trouve le système
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\alpha a+\beta&=&1\\
\alpha b+\beta&=&-1.
\end{array}\right.
$$
La résolution de ce système ne pose pas de difficultés et donne comme unique solution
$$\alpha=\frac{2}{a-b}\textrm{ et }\beta=\frac{-a-b}{a-b}.$$
Le reste recherché est donc
$$\frac{2}{a-b}X+\frac{-a-b}{a-b}.$$
