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Enoncé 
Quel est le reste de la division euclidienne de $(X+1)^n-X^n-1$ par
$$
\mathbf{1.}\ X^2-3X+2\quad\quad\mathbf{2.}\ X^2+X+1\quad\quad\mathbf{3.}\ X^2-2X+1?
$$
Indication 
Écrire a priori la division euclidienne, et tester la relation pour les racines
du polynôme $X^2-3X+2$,...
Corrigé
On rappelle qu'on note $j$ le nombre complexe $j=-\frac12+i\frac{\sqrt 3}2$.
- La méthode pour ce type d'exercice est toujours la même. On commence par écrire a priori le résultat de la division euclidienne, par exemple pour le premier polynôme : $$(X+1)^n-X^n-1=Q(X)(X^2-3X+2)+aX+b,$$ où $a$ et $b$ sont deux réels. On évalue ensuite la relation en les racines du diviseur, qui sont ici $1$ et $2$. On trouve alors $$\left\{ \begin{array}{rcl} 2^n-2&=&a+b\\ 3^{n}-2^n-1&=&2a+b. \end{array}\right.$$ Et finalement on résout le système pour trouver $a$ et $b$, qui sont ici égaux à : $$\left\{ \begin{array}{rcl} a&=&3^n-2^{n+1}+1\\ b&=&-3^n+2^{n+1}+2^n-3. \end{array}\right.$$
- On écrit la même chose,
$$(X+1)^n-X^n-1=Q(X)(X^2+X+1)+aX+b,$$
et on utilise cette fois que les racines de $X^2+X+1$ sont
$j$ et $j^2$.
Il suffit ici en réalité d'utiliser l'évaluation en $j$, sachant que tout nombre complexe
s'écrit de façon unique sous la forme $x+jy$, avec $x,y\in\mathbb R$.
On trouve :
$$(1+j)^n-j^n-1=Q(j)\times 0+aj+b.$$
On distingue ensuite suivant la valeur de $n$ modulo 3, utilisant que
$$(1+j)^n-j^n-1=(-1)^nj^{2n}-j^n-1.$$
- Si $n\equiv 0\ [3]$, alors $j^{2n}=j^n=1$, et donc on a $$(-1)^n-2=aj+b.$$ On identifie alors les coefficients et on trouve $a=0$ et $b=(-1)^n-2.$ Ainsi le reste est $(-1)^n-2$.
- Si $n\equiv 1\ [3]$, alors $j^{n}=j$ et donc $j^{2n}=j^2=-1-j$, $j^n=j$, ce qui donne $$\big((-1)^{n+1}-1\big)j+\big( (-1)^{n+1}-1\big)=aj+b.$$ On identifie les coefficients et on trouve $$a=b=(-1)^{n+1}-1.$$ Le reste est donc $\big((-1)^{n+1}-1\big)(X+1).$
- Si $n\equiv 2\ [3]$, alors $j^{2n}=j$ et $j^{n}=j^2=-1-j$. On trouve $$\big( (-1)^n +1\big)j=aj+b.$$ On identifie alors les coefficients et on trouve $a=(-1)^n +1$ et $b=0.$ Le reste est alors $\big( (-1)^n +1\big)X.$
- On recommence en écrivant $$(X+1)^n-X^n-1=Q(X)(X^2-2X+1)+aX+b,$$ et en remarquant que $X^2-2X+1$ a pour racine double 1. Si on évalue en 1, on obtient une seule relation, à savoir $$2^n-2=a+b.$$ Pour obtenir une seconde relation, il faut dériver la relation issue de la division euclidienne et l'évaluer à nouveau en 1 (c'est toujours cette méthode qui fonctionne pour une racine double). On trouve : $$n(X+1)^{n-1}-nX^{n-1}=Q'(X)(X^2-2X+1)+2Q(X)(X-1)+a,$$ ce qui donne la relation $$n2^{n-1}-n=a.$$ On retrouve alors sans problèmes $b$, qui est égal à : $$b=(2-n)2^{n-1} +n-2.$$