Fonctions convexes admettant une asymptote - Bibm@th.net

Exercice 1 - Fonctions convexes admettant une asymptote [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction convexe.

1. On suppose que $\lim_{+\infty}f=0$. Montrer que $f\geq 0$.
2. Montrer que la somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine est convexe.
3. On suppose que la courbe représentative de $f$ admet une asymptote. Montrer que la courbe est (toujours) au-dessus de l'asymptote.

Indication

1. Supposer qu'il existe $x_0$ avec $f(x_0)<0$, puis fabriquer $x_1>x_0$ tel que $f(x_0)<f(x_1)$. Utiliser l'inégalité des pentes pour prouver que $f$ tend vers $+\infty$.
2. Revenir à la définition.
3. Retrancher à $f$ l'équation de l'asymptote.

Corrigé

1. Supposons qu'il existe un point $x_0$ tel que $f(x_0)<0$. Par définition de la limite de $f$ en $+\infty$, appliquée à $\veps=|f(x_0)|/2$, on peut trouver $x_1>x_0$ tel que $f(x_1)>f(x_0)$. D'après l'inégalité des pentes pour les fonctions convexes, on a, pour tout $x\geq x_1$ : $$\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\leq \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\implies f(x)\geq (x-x_1)\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}+f(x_1).$$ Ceci prouve que $\lim_{+\infty}f=+\infty$, une contradiction.
2. Soit $g(x)=f(x)+ax+b$. Alors, pour tout $x,y\in\mathbb R$ et tout $t\in[0,1]$, on a \begin{eqnarray*} g(tx+(1-t)y)&=&f(tx+(1-t)y)+tax+(1-t)ay+tb+(1-t)b\\ &\leq& t(f(x)+ax+b)+(1-t)(f(y)+ay+b)\\ &\leq& tg(x)+(1-t)g(y) \end{eqnarray*} ce qui prouve que $g$ est convexe.
3. Soit $y=ax+b$ l'équation de l'asymptote. Sans perte de généralité, on peut supposer qu'il s'agit d'une asymptote au voisinage de $+\infty$. Mais alors, en posant $g(x)=f(x)-(ax+b)$, on sait que
   • $g$ est convexe;
   • $\lim_{+\infty}g=0$ (par définition de l'asymptote à une courbe représentative).
   On en déduit $g\geq 0$, ce qui exprime exactement que la courbe représentative de $f$ est toujours au-dessus de son asymptote.