Corrigé 
Supposons que $f$ n'est pas constante. Il existe alors $a<b$ avec $f(a)\neq f(b)$. Supposons par exemple $f(b)>f(a)$. Alors, on sait que la courbe représentative de $f$ est au dessus de la sécante joignant $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$ pour $x\geq b$. Autrement dit, pour $x\geq b$, on a :
$$f(x)\geq \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\times (x-a)+f(a).$$
Ceci prouve que $f(x)$ tend vers $+\infty$ si $x$ tend vers $+\infty$, et que $f$ est donc non majorée. Si $f(b)<f(a)$, on utilise la même inégalité, mais pour $x<a$, et on constate que $f(x)$ tend vers $+\infty$ si $x\to -\infty$. De même, $f$ n'est pas majorée. Par contraposée,
si $f$ est majorée, alors $f$ est constante.
Bibm@th
