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Sommes trigonométriques - Bibm@th.net

Exercice 1

- Sommes trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $n\in\mathbb N^*$ et $x,y\in\mathbb R$. Calculer les sommes suivantes :

$\dis \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos(x+ky)$;
$\displaystyle S=\sum_{k=0}^n \frac{\cos(kx)}{(\cos x)^k}\textrm{ et }T=\sum_{k=0}^n \frac{\sin(kx)}{(\cos x)^k},$ avec $x\neq\frac{\pi}2+k\pi$, $k\in\mathbb Z$;
$\displaystyle D_n=\sum_{k=-n}^n e^{ikx}$ et $\displaystyle K_n=\sum_{k=0}^n D_k$, avec $x\neq 0+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$.

Indication

Corrigé

On a : \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos(x+ky)&=&\Re\left(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} e^{ix}e^{iky}\right)\\ &=&\Re e\left(e^{ix}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} \left(e^{iy}\right)^k1^{n-k}\right)\\ &=&\Re e\left(e^{ix}(1+e^{iy})^n\right)\\ &=&\Re e\left(e^{ix}e^{iny/2}(e^{-iy/2}+e^{iy/2})^n\right)\\ &=&\Re e\left(e^{i(x+ny/2)}(2\cos(y/2))^n\right)\\ &=&2^n\cos(x+ny/2)\cos^n(y/2). \end{eqnarray*}
On utilise $S+iT$ qui se calcule comme une somme géométrique : $$S+iT=\sum_{k=0}^n \frac{e^{ikx}}{(\cos x)^k}=\sum_{k=0}^n \left(\frac{e^{ix}}{\cos x}\right)^k.$$ On distingue deux cas :
- Si $x=0\ [\pi]$, alors $\frac{e^{ix}}{\cos x}=1$, et $S+iT=n+1$. On en déduit $S=n+1$ et $T=0$.
- Si $x\neq 0\ [\pi]$, alors \begin{eqnarray*} S+iT&=&\frac{1-\left(\frac{e^{ix}}{\cos x}\right)^{n+1}}{1-\frac{e^{ix}}{\cos x}}\\ &=&\frac{1}{(\cos x)^n}\times\frac{(\cos x)^{n+1}-e^{ix(n+1)}}{\cos x-e^{ix}}\\ &=&\frac{1}{(\cos x)^n}\times\frac{\cos^{n+1}(x)-\cos\big((n+1)x\big)-i\sin\big((n+1)x\big)}{-i\sin(x)}\\ &=&\frac{\sin\big((n+1)x\big)}{\cos^n(x)\sin(x)}+i\frac{\cos^{n+1}(x)-\cos\big((n+1)x\big)}{\cos^nx\sin x}. \end{eqnarray*} On en déduit $$S=\frac{\sin\big((n+1)x\big)}{\cos^n(x)\sin(x)}\textrm{ et }T=\frac{\cos^{n+1}(x)-\cos\big((n+1)x\big)}{\cos^nx\sin x}.$$
$D_n$ est une somme géométrique, de premier terme $e^{-inx}$ et de raison $e^{ix}\neq 1$. On obtient donc $$D_n=\frac{e^{-inx}-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}=\frac{e^{ix/2}}{e^{ix/2}}\times\frac{e^{-i(n+1/2)x}-e^{i(n+1/2)x}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}.$$ On en déduit que $$D_n=\frac{\sin\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{\sin (x/2)}.$$ Pour calculer $K_n$, une méthode (légèrement différente de celle de la question précédente) est d'écrire que $\sin\left(\left(n+\frac12\right)x\right)=\Im m\left(e^{i(n+1/2)x}\right)$, puis d'utiliser une somme géométrique. On a en effet : \begin{eqnarray*} K_n&=&\frac{1}{\sin(x/2)}\Im m\left(\sum_{k=0}^n e^{i(k+1/2)x}\right)\\ &=&\frac{1}{\sin(x/2)}\Im m \left(e^{ix/2}\sum_{k=0}^n e^{ikx}\right)\\ &=&\frac{1}{\sin(x/2)}\Im m \left(e^{ix/2}\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}\right)\\ &=&\frac1{\sin(x/2)}\Im m\left(e^{ix/2}\frac{e^{i(n+1)x/2}\sin((n+1)x/2)}{e^{ix/2}\sin(x/2)}\right)\\ &=&\frac{\sin^2\big((n+1)x/2\big)}{\sin^2(x/2)}. \end{eqnarray*}