Indication 
Posons $g=f^{-1}(x)$. Justifier que $g$ admet un développement limité d'ordre 3.
Puis, écrire $g(x)=ax+bx^2+c x^3+o(x^3)$. Calculer le développement limité de $f\circ g$ en fonction
de $a,b,c$. En écrivant que $f\circ g(x)=x$ et en utilisant l'unicité du développement limité,
conclure.
Corrigé On remarque d'abord que $f(x)=x+x^3/2+o(x^3)$. Ainsi, $f$ est continue en 0 avec $f(0)=0$ et
$f$ est dérivable en 0 avec $f'(0)=1$. Ainsi, $f$ est continue sur $\mathbb R$. Ensuite, on vérifie (par exemple en la dérivant) que $f$ est strictement
croissante. De plus, $\lim_{-\infty}f=-\infty$ et $\lim_{+\infty}f=+\infty$. Ainsi, $f$ est une bijection
strictement croissante de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Elle admet donc une fonction réciproque $g=f^{-1}$ définie sur
$\mathbb R$. Puisque $f'(0)\neq 0$ et que $f$ est $C^\infty$ au voisinage de 0,
$g$ est indéfiniment dérivable en 0.
Ainsi, $g$ admet un DL à tout ordre en 0. De $f(0)=0$, on tire $g(0)=0$ et donc le DL à l'ordre 3 de $g$
en 0 s'écrit $g(x)=ax+bx^2+cx^3+o(x^3)$. Pour calculer $a,b,c$, écrivons quel est le développement limité
à l'ordre 3 de $f\circ g$. On a
$$f\circ g(x)=(ax+bx^2+cx^3+o(x^3))+(ax+bx^2+cx^3+o(x^3))^3/2+o(g(x)^3)=x$$
soit
$$ax+bx^2+(a^3/2+c)x^3+o(x^3)=x.$$
Par unicité du développement limité, on extrait
$$a=1,\ b=0,\ a^3/2+c=0$$
soit $g(x)=x-x^3/2+o(x^3).$
