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Quelques exemples - Bibm@th.net

Exercice 1

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Soient $a,b$ deux réels strictement positifs. Les parties suivantes sont-elles majorées, minorées? Si oui, déterminer leurs bornes supérieures, inférieures. $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \{a+bn;\ n\in\mathbb N\}&&\displaystyle\mathbf 2.\ \{a+(-1)^n b;\ n\in\mathbb N\}\\ \displaystyle\mathbf 3.\ \left\{a+\frac bn;\ n\in\mathbb N^*\right\}&&\displaystyle\mathbf 4.\ \left\{(-1)^n a+\frac bn;\ n\in\mathbb N^*\right\}\\ \displaystyle\mathbf 5.\ \left\{a+(-1)^n \frac bn;\ n\in\mathbb N^*\right\}. \end{array}$$

Indication

Corrigé

Dans la suite, on notera $A$ l'ensemble considéré.

Les éléments de $A$ sont $a$, $a+b$, $a+2b,\dots$. On a alors que $A$ est minoré par $a$, et puisque $a\in A$, c'est la borne inférieure de $A$. $A$ n'est pas majoré : on ne peut avoir $a+bn\leq M$ pour tout $n\in\mathbb N$, sinon on aurait $n\leq (M-a)/b$ et $\mathbb N$ serait majoré.
Si $n$ est pair, $a+(-1)^n b=a+b$ et si $n$ est impair, $a+(-1)^nb=a-b$. L'ensemble est donc constitué des deux élements $a+b$ et $a-b$. Il est donc majoré, minoré, avec $\sup(A)=a+b$ et $\inf(A)=a-b$.
Les éléments successifs de $A$ sont $a+b,a+\frac b2,a+\frac b3,...$. On voit facilement que $A$ est majoré par $a+b$ et que $A$ est minoré par $a$ (on a bien $a\leq a+\frac bn\leq a+b$ pour tout $n\in\mathbb N^*$). De plus, $a+b$ est élément de $A$, et donc $\sup(A)=a+b$. Enfin, prouvons que $a$ est la borne inférieure de $A$. Si $c$ est un minorant de $A$ strictement supérieur à $a$, alors pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a $$a+\frac bn\geq c\iff n\leq\frac{b}{c-a}.$$ Comme $\mathbb N$ n'est pas majoré, $c$ n'est pas un minorant de $A$. $a$ est donc le plus grand des minorants de $A$, c'est sa borne inférieure.
Les éléments successifs de $A$ sont $-a+b,a+\frac b2,-a+\frac b3,a+\frac b4,\dots$. On remarque que $-a$ est un minorant de $A$ : en effet, pour tout entier $n\geq 1,$ $(-1)^n a\geq -a$ (car $a>0$) et $b/n>0$. En utilisant le raisonnement précédent (mais en se limitant aux entiers impairs), on prouve que $-a=\inf(A)$. De plus, on a $-a+b\geq -a+\frac bn$ pour tout entier $n$ impair et $a+\frac b2\geq a+\frac bn$ pour tout entier $n$ pair. $\max\left(-a+b,a+\frac b2\right)$ est donc un majorant de $A$. C'est aussi un élément de $A$, donc c'est sa borne supérieure.
Les éléments successifs de $A$ sont $a-b,a+\frac b2,a-\frac b3,\dots$. On prouve alors que $a-b$ est un minorant de $A$ et que $a+\frac b2$ est un majorant de $A$. Comme ils sont tous les deux élements de $A$, ce sont respectivement la borne inférieure et la borne supérieure de $A$.