Enoncé 
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes :
$$\begin{array}{ll}
\mathbf 1.\ \sin x\cos x=\frac 14.
&\mathbf 2.\ \sin\left(2x-\frac\pi3\right)=\cos\left(\frac x3\right)\\
\mathbf 3.\ \cos(3x)=\sin(x)&\mathbf 4. \tan x=2 \sin x.\\
\end{array}$$
Indication 
En utilisant des formules de trigonométrie, il faut se ramener à des équations du type $\cos a=\cos b$ ou $\sin a=\sin b$, et utiliser des résultats du cours.
Corrigé
- On se ramène à une équation simple en remarquant que $\sin x\cos x=\frac 12\sin(2x)$. L'équation est donc équivalente à $\sin(2x)=\frac 12$. Mais,
$$\begin{array}{rcl}
\sin(2x)=\frac12&\iff&\exists k\in\mathbb Z, 2x=\frac{\pi}6+2k\pi\textrm{ ou }\exists k\in\mathbb Z,\ 2x=\frac{5\pi}6+2k\pi\\
&\iff&\exists k\in\mathbb Z, x=\frac{\pi}{12}+k\pi\textrm{ ou }\exists k\in\mathbb Z,\ x=\frac{5\pi}{12}+k\pi.
\end{array}$$
- On transforme d'abord l'équation par une formule de trigonométrie :
$$\sin\left(2x-\frac\pi3\right)=\cos\left(\frac x3\right)\iff \sin\left(2x-\frac\pi3\right)=\sin\left(\frac{\pi}{ 2}-\frac x3\right).$$
En utilisant la même méthode qu'à la question précédente, on trouve :
$$\sin\left(2x-\frac\pi3\right)=\cos\left(\frac x3\right)\iff x = \frac{5\pi}{14}+\frac{6k\pi}{7},\ k\in\mathbb Z\textrm{ ou }x =\frac{\pi}2+\frac{6k\pi}5,\ k\in\mathbb Z.$$
- C'est exactement la même méthode. On trouve que
$$\cos(3x)=\sin x\iff x= \frac{ \pi}8+\frac{k\pi}2,\ k\in\mathbb Z\textrm{ ou }x = -\frac{\pi}4+k\pi,\ k\in\mathbb Z.$$
- On remarque d'abord que $x\neq \frac \pi 2+k\pi$, $k\in\mathbb Z$. Si tel est le cas, alors
$$\tan x=2\sin x\iff 2\sin x\cos x=\sin x\iff \sin(2x)=\sin x.$$
Or,
$$\sin(2x)=\sin x\iff x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z\textrm{ ou }x=\frac\pi 3+\frac{2k\pi}3,\ k\in\mathbb Z.$$
On vérifie (par exemple, sur le cercle trigonométrique), qu'aucune des solutions ne s'écrit $\frac{\pi}2+l\pi$, $l\in\mathbb Z$ et on conclut finalement que :
$$\tan x=2\sin x\iff x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z\textrm{ ou }x=\frac\pi 3+\frac{2k\pi}3,\ k\in\mathbb Z.$$
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