$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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$$
Bibm@thFormule du binôme - Bibm@th.net
Enoncé 
- Développer $(x+1)^6$, $(x-1)^6$.
- Démontrer que, pour tout entier $n$, on a
$\sum_{p=0}^n \binom np=2^n.$
- Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{p=0}^n \binom np 2^p=3^n$.
- Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{k=1}^{2n}\binom{2n}k (-1)^k 2^{k-1}=0.$
Indication 
- Utiliser la formule du binôme.
- $2^n=(1+1)^n$.
- $2^p=1^{n-p}2^p$.
- Utiliser que $(-1)^k=(-1)^{2n-k}$ et que $2^{k-1}=\frac 12 2^k$.
Corrigé
- On va utiliser la formule du binôme. On calcule les coefficients binômiaux par exemple en utilisant le triangle de Pascal. On en déduit
$$(x+1)^6=x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1.$$
$$(x-1)^6=x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1.$$
- Il suffit de remarquer que $2^n=(1+1)^n$, et de développer ceci en utilisant la formule du binôme.
- C'est presque le même raisonnement. Cette fois, on écrit que
$$\sum_{p=0}^n \binom np 2^p=\sum_{p=0}^n \binom np 1^{n-p}2^p=(1+2)^n=3^n.$$
- C'est un peu plus difficile. En remarquant que $k$ et $2n-k$ ont la même parité, on a
$$\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}k (-1)^k 2^{k-1}=\frac 12\sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}k (-1)^{2n-k}2^k=\frac 12(-1+2)^{2n}=\frac 12.$$
On en déduit que
$$\sum_{k=1}^{2n}\binom{2n}k (-1)^k 2^{k-1}=\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}k (-1)^k 2^{k-1}-\frac 12=0.$$
- Formule du binôme