C'est un exercice extrêmement classique qu'il faut savoir faire.
- On reconnait une somme géométrique de raison $x$. Pour $x\neq 1$, on a
$$S_n(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.$$
Pour $x=1$, $S_n(1)=n+1$.
- On distingue là encore le cas $x=1$. Il donne
$$T_n(1)=\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}2.$$
Sinon, on dérive $S_n$ : pour tout $x\neq 1$,
$$S_n'(x)=\sum_{k=1}^n kx^{k-1}\implies T_n(x)=xS_n'(x).$$
On calcule alors $S_n'(x)$ avec la formule obtenue à la question précédente et on trouve
$$T_n(x)=x\frac{nx^{n+1} −(n+1)x^n +1}{ (x−1)^2}.$$
