Corrigé 
Une intégration par parties donne, en posant $u(x)=(x^2+1)^{-n}$ et $v'(x)=1$,
$$I_n=\left[\frac{x}{(x^2+1)^n}\right]_0^1 +2n\int_0^1 \frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}}dx=\frac{1}{2^n}+2n\int_0^1 \frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}}dx.$$
Or,
$$\int_0^1 \frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}}dx=\int_0^1\frac{x^2+1}{(x^2+1)^{n+1}}dx-\int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)^{n+1}}dx=I_n-I_{n+1}.$$
Regroupant les termes, on trouve
$$2nI_{n+1}=(2n-1)I_n+\frac1{2^n}\iff I_{n+1}=\frac{2n-1}{2n}I_n+\frac{1}{n2^{n+1}}.$$
Sachant que
$$I_1=\left[\arctan x\right]_0^1=\frac\pi4,$$ on trouve
$$I_2=\frac{\pi}8+\frac14\textrm{ et }I_3=\frac{3\pi}{32}+\frac14.$$
