$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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$$
Intégration par parties itérée - Bibm@th.net
Enoncé 
Soit $n\geq 1.$
- Soit $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ deux fonctions de classe $C^n$. Montrer que
$$\int_{a}^b f^{(n)}g=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \big(f^{(n-k-1)}(b)g^{(k)}(b)-f^{(n-k-1)}(a)g^{(k)}(a)\big)+(-1)^n \int_a^b fg^{(n)}.$$
- Application : On pose $Q_n(x)=(1-x^2)^n$ et $P_n(x)=Q_n^{(n)}(x)$. Justifier que $P_n$ est un polynôme de degré $n$, puis prouver
que $\int_{-1}^1 QP_n=0$ pour tout polynôme $Q$ de degré inférieur ou égal à $n-1$.
Indication 
- Raisonner par récurrence.
- Appliquer la formule précédente, et remarquer que $Q^{(k)}(1)=Q^{(k)}(-1)=0$ si $k\leq n-1$.
Corrigé
- Procédons par récurrence sur $n$. La formule est vraie pour $n=1$ (c'est la formule d'intégration par parties classique).
Supposons la vraie au rang $n-1$ et prouvons-la au rang $n$. Soit $h=f'$, qui est de classe $C^{n-1}$. La formule au rang $n-1$ appliquée
à $h$ et $g$ donne
$$\int_{a}^b h^{(n-1)}g=\sum_{k=0}^{n-2}(-1)^k \big(h^{(n-1-k-1)}(b)g^{(k)}(b)-h^{(n-1-k-1)}(a)g^{(k)}(a)\big)+(-1)^{n-1} \int_a^b hg^{(n-1)}$$
soit
$$\int_{a}^b f^{(n)}g=\sum_{k=0}^{n-2}(-1)^k \big(f^{(n-k-1)}(b)g^{(k)}(b)-f^{(n-k-1)}(a)g^{(k)}(a)\big)+(-1)^{n-1} \int_a^b f'g^{(n-1)}.$$
Il suffit alors d'intégrer par parties le dernier terme,
$$\int_a^b f'g^{(n-1)}=f(b)g^{(n-1)}(b)-f(a)g^{(n-1)}(a)-\int_a^b fg^{(n)}$$
pour obtenir le résultat.
- $Q_n$ est un polynôme de degré $2n$, donc $P_n$, sa dérivée $n$-ième, est un polynôme de degré $n$. De plus, 1 et $-1$ sont racines
$n$-ièmes de $Q_n$, et donc pour tout $k\leq n-1$, on a $Q_n^{(k)}(1)=Q_n^{(k)}(-1)=0$. Pour $Q$ un polynôme de degré inférieur ou égal à $n-1$, on a donc
\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^1 P_n Q&=&\int_{-1}^1 Q_n^{(n)}Q\\
&=&\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \big(Q_n^{(n-k-1)}(1)Q^{(k)}(1)-Q_n^{(n-k-1)}(-1)Q^{(k)}(1)\big)+(-1)^n \int_{-1}^1 Q_nQ^{(n)}.
\end{eqnarray*}
Mais $Q^{(n)}\equiv 0$ car $Q$ est de degré inférieur ou égal à $n-1$, et pour $k\leq n-1$, $n-k-1\leq n-1$ et
donc $Q_n^{(n-k-1)}(1)=Q_n^{(n-k-1)}(-1)=0$. On en déduit bien que l'intégrale recherchée est nulle.
