La méthode la plus facile, ici, consiste à calculer d'abord la forme trigonométrique qui se comporte bien mieux vis à vis des puissances, puis à revenir à la forme algébrique.
- On écrit
$$2+2i=2\sqrt 2e^{i\pi/4}$$
d'où
$$z_1=2^9 e^{3i\pi/2}=-512i.$$
- On commence par passer par la forme trigonométrique :
$$\frac{1+i\sqrt 3}{1-i}=\frac{2\left(\frac12+i\frac{\sqrt 3}2\right)}{\sqrt 2\left(\frac{\sqrt 2}2-i\frac{\sqrt 2}{2}\right)}=\sqrt 2\frac{e^{i\pi/3}}{e^{-i\pi/4}}=\sqrt2e^{i7\pi/12}.$$
On en déduit que
$$z_2=\left(\frac{1+i\sqrt 3}{1-i}\right)^{20}=(\sqrt 2)^{20}e^{i\frac{140\pi}{12}}=2^{10}e^{i\frac{35\pi}3}.$$
Puisque $35\pi=3\times5\times 2\pi+5\pi$, on en déduit que
$$z_2=2^{10}e^{i\frac{5\pi}3}=2^9(1-i\sqrt 3)=512-i512\sqrt 3.$$
- Avec la même méthode, on a
$$(1+i)^{2000}=2^{1000}e^{i500\pi}=2^{1000}.$$
De même,
$$(i-\sqrt 3)^{1000}=2^{1000}e^{i5000\pi/6}.$$
Or,
$$2500=833\times 3+1$$
d'où
$$(i-\sqrt 3)^{1000}=2^{1000}e^{i4\pi/3}.$$
Il vient finalement :
$$z_3=e^{-i4\pi/3}=e^{i2\pi/3}=-\frac 12+\frac{\sqrt 3}2i.$$
