Avant de commencer, on pourra consulter la vidéo suivante, qui présente comment calculer une intégrale en effectuant un changement de variables.
La fonction $t\mapsto e^t$ est de classe $C^1$ sur $[0,1]$, à valeurs dans $[1,e]$. Posons $x=e^t$, de sorte que pour $t=0$ on a $x=1$ et pour $t=1$, on a $x=e$. En dérivant, on a de plus $dx=e^t dt$ et donc $dt=\frac{dx}{e^t}=\frac{dx}x$. Ainsi,
$$\frac{dt}{e^t+1}=\frac{1}{x(x+1)}.$$
Il vient
$$\int_0^1\frac{dt}{1+e^t}=\int_1^{e}\frac{dx}{x(1+x)}.$$
On calcule cette dernière intégrale en remarquant que $\frac{1}{x(x+1)}=\frac 1x-\frac1{x+1}$, d'où l'on tire
\begin{align*}
\int_0^1\frac{dt}{1+e^t}&=\int_1^e\left(\frac 1x-\frac1{x+1}\right)dx\\
&=\left[\ln(x)-\ln(x+1)\right]_1^e\\
&=1+\ln(2)-\ln(e+1).
\end{align*}
La fonction $t\mapsto \sqrt{t}$ est de classe $C^1$ sur $[1,3]$ avec pour image $[1,\sqrt 3]$. Posons $x=\sqrt t$ de sorte que, lorsque $t=1$, on a $x=1$ et lorsque $t=3$, on a $x=\sqrt 3$. En dérivant, on trouve
$dx=\frac{dt}{2\sqrt t}$ de sorte que $dt=2xdx$. Ainsi,
$$\frac{\sqrt t}{t+1}dt=\frac{x}{x^2+1}\cdot 2xdx=2\frac{x^2}{x^2+1}dx.$$
On va calculer l'intégrale résultant du changement de variables en remarquant que
$$\frac{x^2}{x^2+1}=\frac{x^2+1-1}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}.$$
Finalement, on trouve que
\begin{align*}
\int_1^3\frac{\sqrt t}{t+1}dt&=2\int_{1}^{\sqrt 3}\frac{x^2}{x^2+1}dx\\
&=2\int_1^{\sqrt 3} dx-2\int_1^{\sqrt 3}\frac{dx}{1+x^2}\\
&=2\left(\sqrt 3-1-\arctan(\sqrt 3)+\arctan 1\right)\\
&=2\left(\sqrt 3-1-\frac{\pi}3+\frac{\pi}4\right)\\
&=2\sqrt 3-2-\frac\pi 6.
\end{align*}
La fonction $\theta\mapsto \sin(\theta)$ est de classe $C^1$ sur $[-\pi/2;\pi/2]$, à valeurs dans $[-1,1]$. Si on pose $t=\sin\theta$, on a en dérivant $dt=\cos(\theta)d\theta$. De plus, pour $\theta=-\pi/2$, on a $t=-1$ et pour $\theta=\pi/2$, on a $t=1$. On a donc
$$\sqrt{1-x^2}dx=\sqrt{1-\sin^2\theta}\cos(\theta)d\theta=|\cos\theta|\cdot\cos(\theta)d\theta=\cos^2(\theta)$$
car $\cos(\theta)\geq 0$ puisque $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$. Il vient
\begin{align*}
\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}dx&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2(\theta)d\theta\\
&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\right)d\theta\\
&=\frac\pi2+\left[\frac{\sin(2\theta)}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}\\
&=\frac\pi2.
\end{align*}
