Faire le changement de variables demandé (en suivant la méthode décrite dans la vidéo au début de la correction). Une fois le changement de variable effectué, on doit trouver une intégrale facile à calculer.
Avant de commencer, on pourra consulter la vidéo suivante, qui présente comment calculer une intégrale en effectuant un changement de variables.
La fonction $t\mapsto \sqrt t$ est une fonction de classe $C^1$ définie sur $[1,4]$ et à valeurs dans $[1,2]$. Posons $x=\sqrt t$. Lorsque $t=1$, $x=1$ et lorsque $t=4$, $x=2$. Lorsqu'on dérive l'égalité $x=\sqrt t$, alors on obtient $dx=\frac{dt}{2\sqrt t}$. On a donc
$$\frac{1-\sqrt t}{\sqrt t}dt=2(1-\sqrt t)\frac{dt}{2\sqrt t}=2(1-x)dx.$$
On en déduit que
\begin{eqnarray*}
\int_1^4\frac{1-\sqrt t}{t}dt&=&\int_1^2 2(1-x)dx\\
&=&\left[2x-x^2\right]_1^2\\
&=&-1.
\end{eqnarray*}
Remarquons qu'on aurait pu aussi calculer cette intégrale en écrivant
$$\frac{1-\sqrt t}{\sqrt t}=\frac{1}{\sqrt t}-1.$$
La fonction $t\mapsto \cos(t)$ est une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$, avec $\cos(0)=1$ et $\cos(\pi)=-1$. Posons $x=\cos(t)$ de sorte que pour $t=0$, $x=1$ et pour $t=\pi$, $x=-1$. De plus, en dérivant, on trouve $dx=-\sin(t)dt$ et donc
$$\frac{\sin(t)}{1+\cos^2 (t)}dt=-\frac{dx}{1+x^2}.$$
On en déduit que
\begin{align*}
\int_0^{\pi} \frac{\sin(t)}{1+\cos^2 (t)}dt&=\int_{1}^{-1}\frac{-1}{1+x^2}dx\\
&=\int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}\\
&=\left[\arctan(x)\right]_{-1}^1\\
&=\frac\pi4+\frac\pi4=\frac\pi2.
\end{align*}
Remarquons qu'on aurait aussi pu calculer cette intégrale en écrivant la fonction sous la forme $u'(t)/(1+u(t)^2)$, avec $u(t)=\cos(t)$.
La fonction $t\mapsto\ln t$ est de classe $C^1$ sur $[1,e]$. Posons $x=\ln t$ de sorte que pour $t=1$, on a $x=0$ et pour $t=e$, on a $x=1$.
En dérivant, on trouve $dx=\frac{dt}{t}$. On a donc
$$\frac{dt}{2t\ln(t)+t}=\frac{dt}t\times\frac1{2\ln(t)+1}=\frac{dx}{2x+1}.$$
On en conclut que
\begin{align*}
\int_1^e\frac{1}{2t\ln(t)+t}dt&=\int_0^{1}\frac{1}{2x+1}dx\\
&=\left[\frac 12\ln(2x+1)\right]_0^{1}\\
&=\frac{\ln(3)}2.
\end{align*}
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