Enoncé 
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout $x\in[a,b]$, on a
$f(a+b-x)=f(x)$. Montrer que
$$\int_a^b xf(x)dx=\frac{a+b}2\int_a^b f(x)dx.$$
En déduire la valeur de $I=\int_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\cos^2x }dx$.
Indication 
Faire le changement de variables $u=a+b-x$ dans l'intégrale de gauche.
Pour le calcul de l'intégrale, on se ramène à calculer $\int_0^{\pi}\frac{\sin x}{1+\cos^2 x}dx$,
que l'on traite à l'aide du changement de variables $u=\cos x$.
Corrigé La fonction $x\mapsto (a+b-x)$ est une bijection continue strictement décroissante de $[a,b]$ sur lui-même,
envoyant $a$ en $b$ et $b$ en $a$. Effectuant le changement de variables $u=a+b-x$, on trouve donc
\begin{eqnarray*}
\int_a^b xf(x)dx&=&-\int_{b}^a(a+b-u)f(a+b-u)du\\
&=&\int_{a}^b (a+b-u)f(u)du\\
&=&(a+b)\int_a^b f(x)dx-\int_a^b xf(x)dx.
\end{eqnarray*}
Ceci donne le résultat demandé.
Pour l'application, posons $a=0$, $b=\pi$ et $f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos^2 x}$.
Alors $f(\pi-x)=f(x)$ et donc, d'après le résultat précédent, on a
$$I=\frac{\pi}2\int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x}dx.$$
On calcule cette intégrale en effectuant le changement de variables
$u=\cos x$. En effet, la fonction $x\mapsto\cos x$ réalise une bijection
de l'intervalle $[0,\pi]$ sur l'intervalle $[-1,1]$. De $du=-\sin x dx$, on déduit
\begin{eqnarray*}
I&=&\frac{\pi}{2}\int_{1}^{-1}\frac{-du}{1+u^2}\\
&=&\frac{\pi}{2}\int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2}\\
&=&\frac{\pi}2\big(\arctan(1)-\arctan(-1)\big)\\
&=&\frac{\pi^2}4.
\end{eqnarray*}
