Corrigé 
Soit $f$ une solution. Alors
$$\int_0^1 \big(f(t)-f^2(t))dt=0\iff \int_0^1 f(t)\big(1-f(t)\big)dt=0.$$
Or, puisque $f$ est à valeurs dans $[0,1]$, la fonction $t\in[0,1]\mapsto f(t)\big(1-f(t)\big)$ est positive ou nulle.
De plus, elle est continue et son intégrale sur $[0,1]$ est nulle. Ainsi, elle est identiquement nulle. Ceci entraine
que pour tout $t\in [0,1]$, on a $f(t)=0$ ou $f(t)=1$. On va en réalité prouver que $f=0$ ou que $f=1$ (observez que ce n'est pas la même chose! Il y a inversion de quantificateurs…).
Supposons en effet qu'il existe $t_0$ et $t_1$ dans $[0,1]$ avec $f(t_0)=0$ et $f(t_1)=1$. Alors, puisque $f$ est continue, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c\in [0,1]$ tel que $f(c )=1/2$, ce qui ne peut pas être le cas.
On en déduit que $f=0$ ou $f=1$.
Réciproquement, ces fonctions sont solutions. On a donc démontré que les seules
fonctions continues $f:[0,1]\to [0,1]$ vérifiant $\int_0^1 f(t)dt=\int_0^1 f^2(t)dt$ sont les fonctions constantes égales à 0 ou à 1.
Bibm@th
