$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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Lien copié ✅
Calcul de limites détaillé - Bibm@th.net
Enoncé 
- Montrer que si $x$ et $y$ sont des réels, on a :
$$2|xy|\leq x^2+y^2$$
- Soit $f$ l'application de $A=\mtr^2\backslash\{(0,0)\}$ dans $\mtr$ définie par
$$f(x,y)=\frac{3x^2+xy}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$
Montrer que, pour tout $(x,y)$ de $A$, on a :
$$|f(x,y)|\leq 4\|(x,y)\|_2,$$
où $\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2}.$
En déduire que $f$ admet une limite en $(0,0)$.
Indication 
- Utiliser le fait que $(|x|-|y|)^2$ est positif.
- C'est une simple application de l'inégalité triangulaire.
Corrigé
- On a :
$$0\leq (|x|-|y|)^2=x^2+y^2-2|xy|.$$
- L'inégalité de la question précédente se réécrit encore encore en
$$|xy|\leq \frac{\|(x,y)\|^2_2}{2}.$$
On en déduit, d'après l'inégalité triangulaire
$$|f(x,y)|\leq \frac{3\|(x,y)\|^2_2+\frac{\|(x,y)\|^2_2}{2}}{\|(x,y)\|_2}\leq 4\|(x,y)\|_2.$$
Ainsi, si $(x,y)$ tend vers 0, on a $|f(x,y)|$ qui tend vers 0.
