Corrigé 
La fonction est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R^*$. Démontrons la formule demandée par récurrence sur $n$.
Pour $n=0$, la dérivée de $e^{1/x}$ est bien $\frac{-1}{x^2}e^{1/x}$. Supposons la formule vraie au rang $n-1$, et prouvons-la
au rang $n$. Pour cela, on écrit $x^ne^{1/x}$ sous la forme $x\times x^{n-1}e^{1/x}$ et on utilise la formule
de Leibniz :
$$\left(x^n e^{1/x}\right)^{(n+1)}=x\left(x^{n-1}e^{1/x}\right)^{(n+1)}+(n+1)\left(x^{n-1}e^{1/x}\right)^{(n)}.$$
On introduit alors le résultat de l'hypothèse de récurrence, qui donne directement la valeur du second terme et aussi
celle du premier terme après une dernière dérivation :
$$x\left(x^{n-1}e^{1/x}\right)^{(n+1)}=x\left(\frac{(-1)^{n+1}}{x^{n+3}}e^{1/x}+\frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{x^{n+2}}e^{1/x}\right).$$
En mettant tous les résultats ensembles, on trouve exactement le résultat demandé.
Bibm@th
