$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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Lien copié ✅
Probabilité sur $\mathbb N$ - Bibm@th.net
Enoncé 
Soit $a\in ]0,1[$.
- Démontrer qu'il existe une unique probabilité sur $\mathbb N$ telle que, pour tout $n\in\mathbb N,$ $P(\{n\})=(1-a)a^n.$
- On considère les deux événements $A=\{2k:\ k\in\mathbb N\}$ et $B=\{2k+1:\ k\in\mathbb N\}$. Calculer $P(A)$ et $P(B)$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? indépendants ?
Corrigé 
- Il suffit de vérifier que, pour tout $n\in\mathbb N,$ $a^n(1-a)\in]0,1[$ - ce qui est clair puisque $a\in]0,1[$, donc $a^n\in ]0,1]$ ($n$ peut être égal à $0$) et $1-a\in]0,1[$ - et que
$$\sum_{n=0}^{+\infty}(1-a)a^n=\frac{1-a}{1-a}=1.$$
- On a
$$P(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}(1-a)a^{2k}=\frac{1-a}{1-a^2}=\frac{1}{1+a}.$$
Comme $B=\bar A,$ on a
$$P(B)=1-P(A)=\frac{a}{1+a}.$$
Puisque $A\cap B=\varnothing,$ les événements $A$ et $B$ sont incompatibles. Puisque $P(A\cap B)=P(\varnothing)=0$ et $P(A)P(B)\neq 0,$ les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
