Enoncé 
Calculer la dérivée $n$-ième des fonctions suivantes :
$$
\begin{array}{lll}
\mathbf 1. x\mapsto x\exp(x)&\quad\quad&\mathbf 2. x\mapsto (x^3+2x-7)e^x
\end{array}
$$
Corrigé 
- Posons $u(x)=xe^x$ et écrivons $u(x)=v(x)w(x)$ avec $v(x)=x$ et $w(x)=e^x$. On va appliquer la formule de Leibniz
$$u^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n \binom nk v^{(k)}(x)w^{(n-k)}x.$$
Cette somme ne va comporter que deux termes. En effet, on a
$$v(x)=x,\ v'(x)=1,\ v^{(k)}(x)=0,\ k\geq 2.$$
Comme de plus $w^{(k)}(x)=e^x$ pour tout $k\geq 0$, on a donc
$$u^{(n)}(x)=xe^x+ne^x=(x+n)e^x.$$
Remarquons que cette formule se démontre aussi très facilement par récurrence.
- Posons $f(x)=(x^3+2x-7)e^x.$ On va appliquer la formule de Leibniz en écrivant $f(x)=g(x)h(x)$ avec $h(x)=x^3+2x-7$ et $g(x)=e^x.$ La situation est assez facile ici car $h'(x)=3x^2+2$, $h''(x)=6x$, $h^{(3)}(x)=6$ et $h^{(k)}(x)=0$ dès que $k\geq 4$. D'autre part, les dérivées successives de la fonction exponentielle sont encore égales à la fonction exponentielle. On en déduit que
\begin{eqnarray*}
f^{(n)}(x)&=&\sum_{k=0}^3 \binom nk h^{(k)}(x)e^x\\
&=&\left((x^3+2x-7)+n(3x^2+2)+\frac{n(n-1)}26x+\frac{n(n-1)(n-2)}66\right)e^x\\
&=&\big(x^3+3nx^2+(3n^2-3n+2)x+(n^3-3n^2+4n-7)\big)e^x.
\end{eqnarray*}
- Premiers calculs avec la formule de Leibniz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]