Théorème des accroissements finis généralisés et règle de l'Hospital - Bibm@th.net

Soit $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ et dérivables sur $]a,b[$. On suppose que $g'(x)\neq 0$ pour tout $x\in ]a,b[$.

1. Démontrer que, pour tout $x\in [a,b[$, $g(x)\neq g(b)$.
2. On fixe $t\in[a,b[$, on pose $p=\frac{f(t)-f(b)}{g(t)-g(b)}$ et on considère la fonction $h$ définie sur $[a,b]$ par $h(x)=f(x)-p g(x)$. Vérifier que $h(b)=h(t)$ et en déduire qu'il existe un nombre réel $c(t)\in ]t,b[$ tel que $$\frac{f(t)-f(b)}{g(t)-g(b)}=\frac{f'(c(t))}{g'(c(t))}.$$
3. On suppose qu'il existe un nombre réel $\ell$ tel que $\lim_{x\to b^-}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell$. Démontrer que $$\lim_{t\to b^-}\frac{f(t)-f(b)}{g(t)-g(b)}=\ell.$$
4. Application : déterminer $\lim_{x\to 0^-}\frac{\cos(x)-e^x}{(x+1)e^x-1}$.