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Rolle et dérivée $n$-ième - Bibm@th.net

Exercice 1 - Rolle et dérivée $n$-ième [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $C^n$. On suppose qu'il existe $a\leq x_1<x_2<\dots<x_n\leq b$ tels que $f(x_i)=0$ pour tout $i=1,\dots,n$.
  1. Soit $x\in[a,b]$ différent des $x_i$. Déterminer un réel $A$ pour lequel la fonction $\varphi:t\in[a,b]\mapsto f(t)-A(t-x_1)\cdots(t-x_n)$ s'annule en $x$.
  2. En déduire qu'il existe $\lambda\in[a,b]$ tel que $$f(x)=(x-x_1)\dots(x-x_n)\frac{f^{(n)}(\lambda)}{n!}.$$
  3. En déduire que $$|f(x)|\leq \frac{\|f^{(n)}\|_\infty}{n!}\prod_{i=1}^n |x-x_i|.$$
Indication
Corrigé