Enoncé 
Montrer que l'ensemble $G$ des matrices de la forme $\begin{pmatrix}1&x&z\\0&1&y\\ 0&0&1\end{pmatrix}$ est un groupe pour le produit matriciel. Déterminer son centre, c'est-à-dire les matrices $A$ de $G$ telles que $AB=BA$ pour tout $B\in G.$
Corrigé 
On va démontrer que $G$ est un sous-groupe de $GL_3(\mathbb R)$. En effet,
$I_3\in G$. De plus, si $A=\begin{pmatrix}1&x&z\\0&1&y\\ 0&0&1\end{pmatrix}$
et $B=\begin{pmatrix}1&x'&z'\\0&1&y'\\ 0&0&1\end{pmatrix}$, alors
$$AB=\begin{pmatrix}1&x+x'&z+z'+xy'\\0&1&y+y'\\ 0&0&1\end{pmatrix}$$
est bien un élément de $G.$ De plus, le calcul précédent montre que
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-x&-z+xy\\0&1&-y\\ 0&0&1\end{pmatrix}$$
et donc que $A^{-1}$ est un élément de $G.$
Soit maintenant $A=\begin{pmatrix}1&x&z\\0&1&y\\ 0&0&1\end{pmatrix}\in G.$
Alors $A$ est dans le centre de $G$ si et seulement si, pour tout $B=\begin{pmatrix}1&x'&z'\\0&1&y'\\ 0&0&1\end{pmatrix}$, $AB=BA.$
Le seul coefficient qui diffère entre $AB$ et $BA$ est le coefficient à droite de la première ligne, et on trouve
$$AB=BA\iff xy'=x'y.$$
Choisissant $y'=1$ et $x'=0$, on trouve $x=0$ puis choisissant $x'=1$ et $y'=0$, on trouve $y=0$. Réciproquement, si $x=y=0,$ on a bien $AB=BA.$ Le centre de
$G$ est donc constitué des matrices $\begin{pmatrix}1&0&z\\0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}.$
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