Enoncé 
Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé.
Démontrer que $f:E\to\mathbb R,$ $\displaystyle x\mapsto \frac1{1+\|x\|}$ est $1$-lipschitzienne.
Indication 
Majorer $|f(x)-f(y)|$ en mettant au même dénominateur et en utilisant l'inégalité triangulaire pour la norme.
Corrigé Soit $x,y\in E$. Alors
\begin{align*}
|f(x)-f(y)|&=\left|\frac 1{1+\|x\|}-\frac 1{1+\|y\|}\right|\\
&=\left|\frac{\|x\|-\|y\|}{(1+\|x\|)(1+\|y\|)}\right|
\end{align*}
Mais on a d'une part $|\|x\|-\|y\||\leq \|x-y\|$ d'après l'inégalité triangulaire et d'autre part $(1+\|x\|)(1+\|y\|)\geq 1.$ On en déduit $|f(x)-f(y)|\leq \|x-y\|$ qui est bien l'inégalité demandée.
