Dans $\mathbb R^4$ muni de son produit scalaire canonique, on considère $F$ le sous-espace vectoriel défini par
$$F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4:\ x+y+t=0\textrm{ et }x+y+2z-t=0\}.$$
Déterminer le projeté orthogonal de $u=(1,8,1,1)$ sur $F$.
Commencer par chercher une base $(u_1,u_2)$ de $F$. Ensuite, on peut l'orthonormaliser puis utiliser la formule du projeté, ou écrire a priori que le projeté orthogonal de $u$ s'écrit $au_1+bu_2$ et trouver des conditions sur $a$ et $b$.
On commencer par rechercher une base de $F$. Pour cela on écrit que
\begin{eqnarray*}
(x,y,z,t)\in F&\iff&\left\{
\begin{array}{rcl}
x+y+t&=&0\\
x+y+2z-t&=&0
\end{array}\right.\\
&\iff&\left\{
\begin{array}{rcll}
x+y+t&=&0\\
2z-2t&=&0&L_2\leftarrow L_2-L_1\\
\end{array}\right.\\
&\iff&\left\{
\begin{array}{rcll}
x&=&-y&-t\\
y&=&y\\
z&=&&t\\
t&=&&t
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
Ainsi, si on pose $u_1=(-1,1,0,0)$ et $u_2=(-1,0,1,1)$, on trouve que $(u_1,u_2)$ est une base de $F$. Notons ensuite $p_F(u)$ le projeté orthogonal de $u$ sur $F$ et donnons deux méthodes pour le calculer.
Une première méthode consiste à écrire que $p_F(u)=au_1+bu_2=(-a-b,a,b,b)$
de sorte que $u-p_F(u)=(1+a+b,8-a,1-b,1-b).$ On sait que $u-p_F(u)\perp u_1.$ Calculant le produit scalaire, on trouve
$$-1-a-b+8-a=0\iff 2a+b=7.$$
On sait aussi que $u-p_F(u)\perp u_2$ et toujours avec l'aide du produit scalaire :
$$-1-a-b+1-b+1-b=0\iff a+3b=1.$$
Ainsi, $(a,b)$ est solution du système suivant, que l'on va résoudre :
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{rcl}
a+3b&=&1\\
2a+b&=&7
\end{array}\right.&\iff&
\left\{\begin{array}{rcl}
a+3b&=&1\\
-5b&=&5
\end{array}\right.\\
&\iff&\left\{
\begin{array}{rcl}
a&=&4\\
b&=&-1
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
On trouve $p_F(u)=(-3,4,-1,-1).$
Deuxième méthode : on va orthonormaliser la base $(u_1,u_2)$. Puisque $\|u_1\|=\sqrt 2,$ on pose
$$v_1=\frac1{\sqrt 2}(-1,1,0,0).$$
On cherche ensuite $u'_2=u_2+\alpha v_1$ de sorte que $\langle u'_2,v_1\rangle=0.$ Ceci donne
$$\frac 1{\sqrt 2}+\alpha=0\iff \alpha=\frac{-1}{\sqrt 2}.$$
On obtient
$$u'_2=(-1,0,1,1)+\left(\frac 12,-\frac 12,0,0\right)=\left(-\frac 12,-\frac 12,1,1\right).$$
D'autre part,
$$\|u'_2\|^2=\frac 14+\frac 14+1+1=\frac{10}4$$
et donc on pose
$$v_2=\frac{u'_2}{\|u'_2\|}=\frac1{\sqrt 10}(-1,-1,2,2).$$
On sait ensuite que $p_F(u)=\langle u,v_1\rangle v_1+\langle u,v_2\rangle v_2.$
Or,
$$\langle u,v_1\rangle=\frac{7}{\sqrt 2}\textrm{ et }\langle u,v_2\rangle=\frac{-5}{\sqrt{10}}$$
de sorte que
$$\langle u,v_1\rangle v_1=\left(-\frac 72,\frac 72,0,0\right)$$
et
$$\langle u,v_2\rangle v_2=\left(\frac 12,\frac 12,-1,-1\right).$$
Après un dernier petit calcul, on retrouve bien $p_F(u)=(-3,4,-1,-1).$
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