Distance à un sous-espace? - Bibm@th.net

On va faire apparaître ceci comme un problème de calcul de distance à un sous-espace de dimension 2 dans un bon espace préhilbertien. Pour cela, on pose $E=\mathcal C([0,2\pi])$ muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_0^{2\pi} f(t)g(t)dt$. On cherche à calculer $$\inf_{a,b\in\mathbb R^2}\|t-a\sin-b\cos\|^2.$$ Posons $F=\textrm{vect}(\sin,\cos)$. Alors $\{a\sin+b\cos:\ a,b\in\mathbb R\}=F$ et ce que l'on cherche est ni plus ni moins que $$\inf_{f\in F}\|t-f\|^2.$$ Puisque $F$ est de dimension finie, cela revient à calculer le projeté orthogonal $p_F(t)$ de $t$ sur $F$, puisqu'alors $$\inf_{f\in F}\|t-f\|^2=\|t-p_F(t)\|^2=\|t\|^2-\|p_F(t)\|^2.$$ Reste à calculer $p_F(t)$. Il y a plusieurs façons de s'y prendre. Ici, il est facile de voir que $$\langle \sin,\cos\rangle=\int_0^{2\pi}\sin(t)\cos(t)dt=\frac 12\int_0^{2\pi}\sin(2t)dt=0$$ et donc que la famille $(\sin,\cos)$ est déjà une base orthogonale de $F$. On la normalise en remarquant que $$\int_0^{2\pi}\cos^2(t)dt=\int_0^{2\pi}\frac{1+\cos(2t)}{2}dt=\left[\frac t2+\frac{\sin(2t)}4\right]_0^{2\pi}=\pi.$$ De même on prouve que $$\int_0^{2\pi}\sin^2(t)dt=\pi.$$ Ainsi, $\left(\frac{\cos}{\sqrt \pi},\frac{\sin}{\sqrt \pi}\right)$ est une base orthonormée de $F$. On a alors \begin{eqnarray*} p_F(t)&=&\left\langle t,\frac{\cos}{\sqrt \pi}\right\rangle\frac{\cos}{\sqrt \pi}+\left\langle t,\frac{\sin}{\sqrt \pi}\right\rangle\frac{\sin}{\sqrt \pi}\\ &=&\langle t,\cos\rangle\frac{\cos}{\pi}+\langle t,\sin\rangle\frac{\sin}{\pi}. \end{eqnarray*} Il reste à calculer ces deux produits scalaires. Pour cela, on remarque que, par une intégration par parties, \begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi}te^{it}dt&=&\left[t\frac{e^{it}}i\right]_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}\frac 1ie^{it}dt\\ &=&-2i\pi+\left[e^{it}\right]_0^{2\pi}\\ &=&-2i\pi. \end{eqnarray*} En particulier, en prenant la partie réelle et la partie imaginaire, on trouve $$\int_0^{2\pi}t\cos(t)dt=0\textrm{ et }\int_0^{2\pi}t\sin(t)dt=-2\pi.$$ Finalement, on a $$p_F(t)=-2\sin.$$ Pour conclure, \begin{eqnarray*} \inf_{f\in F}\|t-f\|^2&=&\|t\|^2-\|p_F(t)\|^2\\ &=&\int_0^{2\pi}t^2dt-\int_0^{2\pi}4\sin^2(t)dt\\ &=&\frac{8\pi^3}3-4\pi \end{eqnarray*} Il convient ici de distinguer ce qui est du calcul technique d'intégrale et ce qui relève des espaces préhilbertiens.