Enoncé 
Démontrer que pour tous $x_1,\dots,x_n\in\mathbb R,$
$$\left(\sum_{k=1}^n \frac{x_k}{2^k}\right)^2\leq\frac 13\sum_{k=1}^n x_k^2.$$
Indication 
Il suffit d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathbb R^n$ muni de son produit scalaire canonique, avec $x=(x_1,\dots,x_n)$.
Corrigé Il suffit d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathbb R^n$ muni de son produit scalaire canonique, avec $x=(x_1,\dots,x_n)$ et $y=(2^{-1},\cdots,2^{-n})$. Il vient
\begin{align*}
\left|
\sum_{k=1}^n \frac{x_k}{2^k}\right|&\leq \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^{2k}}\right)^{1/2}\left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)^{1/2}
\end{align*}
Par croissance de la fonction carrée sur $\mathbb R_+$, et en utilisant la formule donnant la somme d'une suite géométrique, on trouve
\begin{align*}
\left(\sum_{k=1}^n \frac{x_k}{2^k}\right)^2
&\leq \frac{\frac 14-\frac{1}{4^{n+1}}}{1-\frac 14}\left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\\
&\leq \frac{\frac 14}{\frac 34}\left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\\
&\leq \frac 13\left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right).
\end{align*}
- Une première application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]