Enoncé 
$\mathbb R^4$ est muni de sa structure euclidienne canonique.
On considère les sous-espaces $F$ et $G$ de $\mathbb R^4$ définis par :
$$F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4:\ x-y+2z+t=0\textrm{ et }-x+2y+3z-t=0\}$$
$$G=\textrm{vect}\big((1,1,1,0),(2,1,1,-1)\big).$$
Déterminer une base de $F^\perp$ et de $G^\perp.$
Corrigé 
Notons $u=(1,-1,2,1)$ et $v=(-1,2,3,-1)$. Alors on a
\begin{align*}
(x,y,z,t)\in F&\iff (x,y,z,t)\perp u\textrm{ et }(x,y,z,t)\perp v\\
&\iff (x,y,z,t)\perp \textrm{vect}(u,v).
\end{align*}
Ainsi, $F=(\textrm{vect}(u,v))^\perp.$ Puisqu'on est en dimension finie, on a pour tout sous-espace $E$ de $\mathbb R^4$ : $(E^\perp)^\perp=E.$
On conclut que $F^\perp=\textrm{vect}(u,v).$ Ainsi, puisque $(u,v)$ est une famille libre, $(u,v)$ est une base de $F^\perp.$
Remarquons ensuite que
\begin{eqnarray*}(x,y,z,t)\in G^\perp&\iff& (x,y,z,t)\perp (1,1,1,0)\textrm{ et }(x,y,z,t)\perp (2,1,1,-1)\\
&\iff &x+y+z=0\textrm{ et }2x+y+z-t=0\\
&\iff&\left\{\begin{array}{rcl}
x+y+z&=&0\\
x-t&=&0\\
\end{array}\right.
\\
&\iff &\left\{\begin{array}{rcl}
x&=&x\\
y&=&-x-z\\
z&=&z\\
t&=&x\\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
On en déduit qu'une famille génératrice de $G^\perp$ est donnée par les vecteurs $u_1=(1,-1,0,1)$ et $u_2=(0,-1,1,0)$. Ces vecteurs étant linéairement indépendants, ils forment une base de $G^\perp$.
- Base de l'orthogonal