Système d'équations de l'orthogonal - Bibm@th.net

On commence par chercher une base de $G$. On remarque que \begin{eqnarray*} (x,y,z,t)\in G&\iff& \left\{\begin{array}{rcl} x+y-z+t&=&0\\ x+2y+3z+t&=&0 \end{array}\right.\\ &\iff& \left\{\begin{array}{rcl} x+y-z+t&=&0\\ y+4z&=&0 \end{array}\right.\\ &\iff&\left\{\begin{array}{rcl} x+y-z+t&=&-y+z-t=5z-t\\ y&=&-4z\\ z&=&z\\ t&=&t \end{array}\right.\\ \end{eqnarray*} Ainsi, si on pose $u_1=(5,-4,1,0)$ et $u_2=(-1,0,0,1)$, on sait que $(u_1,u_2)$ est une base de $G$. On détermine alors facilement un système d'équations pour $G^\perp$ : \begin{eqnarray*} (x,y,z,t)\in G^\perp&\iff& (x,y,z,t)\perp u_1\textrm{ et }(x,y,z,t)\perp u_2\\ &\iff&\left\{ \begin{array}{rcl} 5x-4y+z&=&0\\ -x+t&=&0 \end{array} \right. \end{eqnarray*}