Indication 
Montrer que les deux fonctions sont dérivables en 0 en revenant à la définition (limite du taux d'accroissement).
Calculer ensuite $f'(x)$ et $g'(x)$ pour $x\neq 0$, puis étudier si $f'$ et $g'$ sont continues en 0.
On pourra notamment calculer $f'(1/2n\pi)$.
Corrigé On remarque d'abord que $f$ est continue en 0, car, pour $x\neq 0$, on a
$$|f(x)-f(0)|\leq x^2$$
et $x^2\to 0$ quand $x\to 0$. D'autre part, $f$ est clairement $C^1$ sur $\mathbb R^*$.
Etudions la dérivabilité en 0 en revenant à la définition, c'est-à-dire en étudiant
si le taux d'accroissement admet une limite. On a :
$$\frac{f(x)-f(0)}{x}=x\sin\left(\frac 1x\right)$$
et ceci tend vers 0 quand $x$ tend vers 0, grâce à la majoration
$|x\sin\left(\frac 1x\right)|\leq |x|$. Ainsi, $f$ est dérivable en 0,
avec $f'(0)=0$. Pour déterminer si $f$ est $C^1$ en 0, il faut étudier si la dérivée est continue en 0.
Pour $x\neq 0$, on a
$$f'(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac 1x\right).$$
Or, posons $u_n=\frac{1}{2n\pi}$. Alors, $u_n$ tend vers 0, et
$$f'(u_n)=\frac{1}{n\pi}\sin(2n\pi)-\cos(2n\pi)=-1\neq f'(0).$$
Ainsi, $f'$ n'est pas continue en 0, et $f$ n'est pas de classe $C^1$.
Concernant $g$, on peut procéder comme pour $f$ pour démontrer que $g$
est $C^1$ sur $\mathbb R^*$, dérivable en 0 avec $g'(0)=0$.
De plus, pour $x\neq 0$,
$$g'(x)=3x^2\sin\left(\frac1x\right)-x\cos\left(\frac 1x\right)$$
de sorte que
$$|g'(x)-g'(0)|\leq 3|x|^2+|x|.$$
Ceci entraîne que $g'$ est continue en 0, et donc que $g$ est de classe $C^1$.
On peut aussi prouver directement que $g$ est de classe $C^1$ en appliquant le théorème de prolongement d'une dérivée, puisque pour $x\neq 0$,
$$g'(x)=3x^2\sin\left(\frac1x\right)-x\cos\left(\frac 1x\right)$$
et que cette quantité tend vers $0$ si $x$ tend vers $0$.
