On va commencer par démontrer que $\mathbb Q(i)$ est un sous-anneau de $\mathbb C.$ Pour cela, on remarque que
- $1\in\mathbb Q(i)$
- si $z=a+ib$ et $z'=a+ib'\in\mathbb Q(i),$ alors
$$z-z'=(a-a')+i(b-b')\in\mathbb Q(i)$$
et
$$zz'=(a+ib)(a'+ib')=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)\in\mathbb Q(i).$$
Ensuite, soit $z=a+ib\in\mathbb Q(i),$ $z\neq 0.$ Alors
$$\frac1z=\frac{a-ib}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}+i\frac{-b}{a^2+b^2}\in\mathbb Q(i).$$
Ainsi, $1/z$ est dans $\mathbb Q(i)$ et donc tout élément non nul de $\mathbb Q(i)$ admet un inverse dans $\mathbb Q(i)$. Ceci achève de prouver que $\mathbb Q(i)$ est un corps.
Bibm@th
