La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et sa dérivée est $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$ On en déduit le tableau de variations suivant :
On peut alors amorcer la discussion suivant les valeurs de $a$ :
- Si $a>-1$, puisque $f(x)\leq -1$ si $x\in ]-\infty,2]$, il n'y a pas
de solutions à l'équation $f(x)=a$ dans cet intervalle. D'autre part, $f$ est continue strictement croissante sur $]2,+\infty[$, et $a\in ]f(2),\lim_{+\infty}f[=]-5,+\infty[$. Il y a donc une solution unique dans l'intervalle $]2,+\infty[$ à l'équation $f(x)=a$, et donc aussi une solution unique sur $\mathbb R.$
- Si $a=-1$, on fait le même raisonnement, en remarquant qu'il n'y a pas de solutions dans $]-\infty,0[$ ni dans $]0,+\infty[$. En revanche, on a aussi $f(0)=-1$. L'équation $f(x)=-1$ admet donc $2$ solutions.
- Si $a\in ]-5,-1[$, alors par le même argument que précédemment (stricte monotonie et valeur ou limite aux bornes), on constate que l'équation $f(x)=a$ admet une solution unique sur chacun des intervalles $]-\infty,0[$, $]0,2[$ et $]2,+\infty[$. Il y a donc trois solutions à l'équation $f(x)=a$ sur $\mathbb R.$
- Si $a<-5$, alors il ne peut pas y avoir de solutions dans l'intervalle $[0,+\infty[$ et puisque $f$ est strictement croissante, continue sur $]-\infty,0[$ avec $\lim_{-\infty}f=-\infty$ et $f(0)-1$, l'équation $f(x)=a$ admet une solution unique dans $]-\infty,0[$.
- Enfin, si $a=-5$, on trouve deux solutions, l'une dans $]-\infty,0[$, et aussi $2$.
- Combien de solutions?
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