Pour la première question, trouver deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ qui tendent vers $0$ et telles que $\sin(1/u_n)$ et $\sin(1/v_n)$ convergent vers des limites différentes.
On va procéder par l'absurde. Supposons que $x\mapsto \sin(1/x)$ admette une limite égale à $\ell$ en $0$. Alors pour toute suite $(u_n)$ qui converge vers $0$, on doit avoir $\sin(1/u_n)$ qui converge vers $\ell$.
Appliquons ceci avec la suite $u_n=1/n\pi$. Alors $\sin(1/u_n)=\sin(n\pi)=0$ et donc $\ell=0$.
Appliquons ceci avec la suite $u_n=1/(2n\pi+\pi/2)$. Alors $\sin(1/u_n)=\sin(2n\pi+\pi/2)=1$ et donc $\ell=1$.
Il y a manifestement une contradiction, et la fonction n'admet pas de limite en $0$.
On procède de la même façon, en considérant cette fois la suite $(u_n)=(2n\pi)$, qui tend vers $+\infty$ et pour laquelle $\sin(\cos(2n\pi))=\sin(1)$, et la suite $(u_n)=(2n\pi+\pi/2)$, qui tend vers $+\infty,$ et pour laquelle $\sin(\cos(2n\pi+\pi/2))=\sin(0)$. Si la fonction $x\mapsto\sin(\cos(x))$ devait admettre une limite $\ell$, celle-ci devrait être égale à la fois à $\sin(0)$ et à $\sin(1)$, et $\sin(0)\neq\sin(1).$