Dans toute la suite, on va poser $f(x)=\ln(x)-ax$, définie pour $x>0$.
Chercher une solution de $(E_a)$, c'est chercher un zéro de $f$. Remarquons d'abord que la fonction $f$ est continue sur $]0,+\infty[$ et que $\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty$. De plus, $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et pour tout $x>0$, on a
$$f'(x)=\frac 1x-a.$$
On a $f'(x)=0\iff x=1/a$. Si $a\leq 0$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$. Si $a>0$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0,1/a[$ et strictement décroissante sur $]1/a,+\infty[$.
- Si $a\leq 0$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ et de plus $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ (ce n'est pas une forme indéterminée). La fonction $f$ réalise donc une bijection de $]0,+\infty[$ sur $\mathbb R$, et l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans $]0,+\infty[$. On peut même préciser l'emplacement de ce zéro. En effet, $f(1)=-a\geq 0$, et donc $0\in ]\lim_{x\to 0^+}f(x),f(1)]$. On en déduit que la solution à $(E_a)$ est dans l'intervalle $]0,1]$.
- Si $a>0$, on a $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ par croissance comparée de la fonction logarithme et des fonctions puissance. On a donc le tableau de variations suivant pour la fonction $f$ :
Supposons maintenant $a\in ]0,1/e[$. Par continuité et stricte monotonie, $f$ réalise une bijection de $]0,1/a]$ sur $]-\infty,f(1/a)]=]-\infty,\ln(1/a)-1]$ et de $[1/a,+\infty[$ sur $]-\infty;\ln(1/a)-1]$.
Puisque $a<1/e$, $\ln(1/a)>1$ et on trouve bien deux solutions à l'équation $f(x)=0$ : l'une dans l'intervalle $]0,1/a[$ et l'autre dans l'intervalle $]1/a,+\infty[$.
- Si $a=1/e$, alors $f$ admet un maximum en $e$ qui vaut $0$. La fonction étant strictement croissante sur $]0,1/e[$ et strictement décroissante sur $]1/e,+\infty[$, l'équation $(E_a)$ admet pour unique solution $e$.
- Si $a>1/e$, alors $f$ admet un maximum en $1/a$ et $f(1/a)=-\ln(a)-1<0$. Ainsi, l'équation $(E_a)$ n'admet pas de solutions.
