Moyenne arithmético-géométrique et suites adjacentes - Bibm@th.net
Exercice 1 - Moyenne arithmético-géométrique et suites adjacentes ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé 
Soient $0\leq b\leq a$ et $(u_n)$, $(v_n)$ les deux suites définies par
$$u_0=a,\ v_0=b,\ u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2},\ v_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}.$$
On admettra que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont bien définies avec $u_n\geq 0$ et $v_n\geq 0$ pour tout entier $n.$
- Démontrer que pour tous réels positifs $x$ et $y$, on a $$\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}2.$$
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n\geq v_n$, $u_n\geq u_{n+1}$ et $v_{n+1}\geq v_n$.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 0$, on a $0\leq u_{n+1}-v_{n+1}\leq \frac 12(u_n-v_n)$.
- Démontrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite. Cette limite est appelée moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$ et est notée $M(a,b)$.
- Écrire une fonction Python $\verb+moyenne(a,b,ecart)+$ qui donne un encadrement de $M(a,b)$, avec une amplitude inférieure ou égale à $\verb=ecart=$.
