Enoncé 
Calculer les intégrales suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf{1.}\int_{0}^2 (x+6)e^{2x}dx &\quad&\displaystyle \mathbf{2.} \int_0^1 e^x(2x^3+3x^2-x+1)dx
\end{array}$$
Indication 
Intégrer par parties, ou rechercher une primitive de la même forme.
Corrigé
- On va intégrer par parties en posant $u(x)=x+6$, $v'(x)=e^{2x}$, de sorte que $u'(x)=1$ et $v(x)=\frac 12 e^{2x}$. On obtient
\begin{align*}
\int_{0}^2 (x+6)e^{2x}dx&=\left[\frac{(x+6)e^{2x}}{2}\right]_0^2-\frac12\int_0^2 e^{2x}dx\\
&=4e^4-3-\frac14\left[e^{2x}\right]_0^2\\
&=4e^4-3-\frac14e^4+\frac14\\
&=\frac{15e^4-11}4.
\end{align*}
On peut aussi chercher une primitive de $x\mapsto (x+6)e^{2x}$ sous la forme $x\mapsto (ax+b)e^{2x}$, comme dans la correction de la question suivante.
- On peut comme à la question précédente intégrer par parties (mais il faudrait répéter 3 fois l'intégration par parties), ou rechercher une primitive de la même forme, c'est-à-dire une fonction $F:x\mapsto e^x(ax^3+bx^2+cx+d)$.
On a alors
$$F'(x)=e^x\big(ax^3+(3a+b)x^2+(2b+c)x+(c+d)\big).$$
Par identification, on trouve que $F$ est une primitive de $x\mapsto e^x(2x^3+3x^2-x+1)$ lorsque
$a=2$, $3a+b=3$, $2b+c=-1$ et $c+d=1$, soit $a=2$, $b=-3$, $c=5$ et $d=-4$. Les primitives sont donc les fonctions
$$x\mapsto e^x(2x^3-3x^2+5x-4)+C.$$
L'intégrale recherchée vaut donc
$$F(1)-F(0)=4.$$
- Exponentielle * Polynôme
Bibm@th
