Déterminant 4x4 - Bibm@th.net

On a \begin{eqnarray*} \Delta_1&=&\left|\begin{array}{cccc} {0}&{1}&0&0\\ 1&0&0&1\\ 1&1&-1&1\\ 1&1&0&0 \end{array}\right|\quad\quad {C_3\leftarrow C_3-C_2}\\ &=&{(-1)}\times \left|\begin{array}{ccc} 1&0&1\\ 1&-1&1\\ 1&0&0 \end{array}\right|\\ &=&(-1)\times\left| \begin{array}{cc} 0&1\\ -1&1 \end{array} \right| \\ &=&-1. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \Delta_2&=&\left|\begin{array}{cccc} a&b&c&d\\ a&a&b&c\\ a&a&a&b\\ a&a&a&a \end{array}\right|\\ &=&\left|\begin{array}{cccc} a&b-a&c-a&d-a\\ a&0&b-a&c-a\\ a&0&0&b-a\\ a&0&0&0 \end{array}\right| \quad\quad \begin{array}{l} {C_2\leftarrow C_2-C_1}\\ {C_3\leftarrow C_3-C_1}\\ {C_4\leftarrow C_4-C_1} \end{array} \end{eqnarray*} On développe par rapport à la dernière ligne, où le seul terme non nul est le premier. En suivant la règle d'alternance de signes, on doit multiplier par $-a$ le déterminant restant : \begin{eqnarray*} \Delta_2&=&{(-a)}\times \left|\begin{array}{ccc} b-a&c-a&d-a\\ 0&b-a&c-a\\ 0&0&b-a \end{array}\right|\\ &=&(-a)(b-a)^3. \end{eqnarray*}