On reconnait simplement un produit :
$$\sum_{1\leq i,j\leq n}ij=\left(\sum_{i=1}^n i\right)\times \left(\sum_{j=1}^n j\right)=\frac{n^2(n+1)^2}4.$$
On va mettre la somme sur $j$ à l'extérieur, et la somme sur $i$ a l'intérieur. On trouve
\begin{align*}
\sum_{1\leq i\leq j\leq n}\frac ij&=\sum_{1\leq j\leq n}\frac 1j\sum_{i=1}^j i\\
&=\sum_{1\leq j\leq n}\frac 1j\times \frac{j(j+1)}2\\
&=\frac 12\sum_{1\leq j\leq n}(j+1)\\
&=\frac 12 \times \frac{n(n+3)}2\\
&=\frac{n(n+3)}4.
\end{align*}
Bibm@th
