Transcendance des nombres de Liouville - Bibm@th.net

Un réel $a$ est dit algébrique s'il existe un polynôme $P\in\mathbb Z[X]$ non nul à racines simples tel que $P(a)=0$. Dans le cas contraire, il est dit transcendant.

1. Soit $P\in\mathbb Z[X]$ de degré $d$, $p\in\mathbb Z$ et $q\geq 1$ tel que $P(p/q)\neq 0$. Démontrer que $\left|P\left(\frac pq\right)\right|\geq\frac 1{q^d}.$
2. En déduire que si $a$ est algébrique, il existe $C>0$ tel que, pour tout $p\in\mathbb Z$ et tout $q\geq 1$ tel que $\frac pq\in [a-1,a+1]$ et $a\neq \frac pq$, alors $$\left|a-\frac pq\right| \geq \frac C{q^d}.$$
3. Démontrer que la série $\sum_{n\geq 1}{10^{-n!}}$ est convergente. On note $\ell$ sa somme et $S_n$ la somme partielle d'ordre $n$.
4. Démontrer que $|\ell-S_n|\leq \frac{10}9\times \frac 1{10^{(n+1)!}}.$
5. En déduire que $\ell$ est transcendant.