Base de l'intersection - tous les cas possibles! - Bibm@th.net

Exercice 1 - Base de l'intersection - tous les cas possibles! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Déterminer une base de $F\cap G$ dans les cas suivants :

1. $F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3: x+y+z=0\}$, $G=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ -x+y-z=0\}.$
2. $F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3: x+y+z=0\}$, $G=\vect(v_1,v_2)$ avec $v_1=(1,1,-3)$ et $v_2=(1,0,1)$.
3. $F=\vect(u_1,u_2)$, $G=\vect(v_1,v_2)$ avec $u_1=(1,-1,0)$, $u_2=(2,-3,1)$, $v_1=(1,1,-3)$ et $v_2=(1,0,1)$.

Indication

Corrigé

1. On écrit que \begin{align*} (x,y,z)\in F\cap G&\iff \left\{ \begin{array}{rcl} x+y+z&=&0\\ -x+y-z&=&0 \end{array} \right. \\ &\iff \left\{ \begin{array}{rcl} x+y+z&=&0\\ 2y&=&0 \end{array} \right. \\ &\iff \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&-z\\ y&=&0\\ z&=&z \end{array}\right. \end{align*} Le vecteur $w=(-1,0,1)$ engendre donc $F\cap G$ et comme il est non nul, c'est une famille libre. Donc $(w)$ est une base de $F\cap G$.
2. Soit $(x,y,z)\in F\cap G$. Alors on sait que $x+y+z=0$. D'autre part, on sait qu'il existe $a,b$ dans $\mathbb R$ tels que $(x,y,z)=a(1,1,-3)+b(1,0,1)$. On en déduit que $$\left\{ \begin{array}{rcl} x&=&a+b\\ y&=&a\\ z&=&-3a+b \end{array}\right.$$ Maintenant, on remplace $x$, $y$ et $z$ par leur valeur dans $x+y+z=0$. On trouve $$(a+b)+a+(-3a+b)=0$$ ce qui est équivalent à $$-a+2b=0\iff a=2b.$$ Ainsi, $(x,y,z)\in F\cap G$ si et seulement s'il existe un réel $b$ tel que $$(x,y,z)=2b(1,1,-3)+b(1,0,1)=(3b,2b,-5b)=b(3,2,-5).$$ Le vecteur $w=(3,2,-5)$ engendre $F\cap G$. Comme $(w)$ est libre, c'est une base de $F\cap G$.
3. Méthode 1 : Soit $(x,y,z)\in F\cap G$. Alors, il existe des réels $a$ et $b$ tels que $$(x,y,z)=au_1+bu_2$$ c'est-à-dire $$\left\{\begin{array}{rcl} x&=&a+2b\\ y&=&-a-3b\\ z&=&b \end{array}\right.$$ D'autre part, il existe des réels $c$ et $d$ tels que $$(x,y,z)=c v_1+d v_2$$ c'est-à-dire $$\left\{ \begin{array}{rcl} x&=&c+d\\ y&=&c\\ z&=&-3c+d \end{array}\right.$$ Ceci nous amène à résoudre le système de 3 équations et 4 inconnues \begin{align*} \left\{ \begin{array}{rcl} a+2b&=&c+d\\ -a-3b&=&c\\ b&=&-3c+d \end{array}\right. &\iff \left\{ \begin{array}{rrrrcl} a&+2b&-c&-d&=&0\\ -a&-3b&-c&&=&0\\ &b&+3c&-d&=&0 \end{array}\right. \\ &\iff \left\{ \begin{array}{rrrrcl} a&+2b&-c&-d&=&0\\ &-b&-2c&-d&=&0\\ &b&+3c&-d&=&0 \end{array}\right. \\ &\iff \left\{ \begin{array}{rrrrcl} a&+2b&-c&-d&=&0\\ &-b&-2c&-d&=&0\\ &&c&-2d&=&0 \end{array}\right. \\ &\iff \left\{ \begin{array}{rcl} a&=&13d\\ b&=&-5d\\ c&=&2d\\ d&=&d \end{array}\right. \end{align*} Les vecteurs de $F\cap G$ sont donc les vecteurs qui s'écrivent $$2d(1,1,-3)+d(1,0,1)=d(3,2,-5).$$ Si on pose $w=(3,2,-5)$, on en déduit que $(w)$ est une base de $F\cap G$.
   Méthode 2 : on commence par déterminer une équation de $F$. Pour cela, on écrit \begin{align*} (x,y,z)\in F&\iff \exists (a,b)\in\mathbb R^2,\ \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&a+2b\\ y&=&-a-3b\\ z&=&b \end{array}\right. \\ &\iff \exists (a,b)\in\mathbb R^2, \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&-y-z\\ a&=&-y-3b=-y-3z\\ b&=&z \end{array}\right. \\ &\iff x+y+z=0. \end{align*} On est alors ramené à la question 2.