Bases de sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^4$ - Bibm@th.net

Exercice 1 - Bases de sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^4$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On se place dans l'espace vectoriel $E=\mathbb R^4$.

1. On considère le sous-espace vectoriel $F=\{ (x,y,z,t)\in \mathbb R^4 \ \vert \ x+y+z=0 \text{ et } 2x+y+z-t=0 \} $. Donner une famille génératrice, puis une base de $F$.
2. On considère le sous-espace vectoriel $G=\{ (a,a,a,a):\ a\in\mathbb R\}$. Donner une famille génératrice finie, puis une base de $G$.
3. Déterminer une famille génératrice finie, puis une base de $F+G$.

Indication

1. Résoudre le système.
2. $G$ apparaît facilement comme un sous-espace engendré.
3. Réunir une famille génératrice de $F$ et une famille génératrice de $G$.

Corrigé

1. On écrit que \begin{eqnarray*} (x,y,z,t)\in F&\iff& \left\{\begin{array}{rcl} x+y+z&=&0\\ 2x+y+z-t&=&0\\ \end{array}\right. \\ &\iff& \left\{\begin{array}{rcl} x+y+z&=&0\\ x-t&=&0\\ \end{array}\right. \\ &\iff& \left\{\begin{array}{rcl} x&=&x\\ y&=&-x-z\\ z&=&z\\ t&=&x\\ \end{array}\right. \end{eqnarray*} On en déduit qu'une famille génératrice de $F$ est donnée par les vecteurs $u_1=(1,-1,0,1)$ et $u_2=(0,-1,1,0)$. Ces vecteurs étant linéairement indépendants, ils forment une base de $F$.
2. Posant $u_3=(1,1,1,1)$, $(u_3)$ est une base de $G$.
3. Puisque $F=\textrm{vect}(u_1,u_2)$ et que $G=\textrm{vect}(u_3)$, on a que $F+G=\vect(u_1,u_2,u_3)$ et donc $(u_1,u_2,u_3)$ est une famille génératrice de $F+G$. On vérifie ensuite facilement que cette famille est libre. Donc c'est une base de $F+G$.