$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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$$
Bibm@th\'Equation bicarrée - Bibm@th.net
Enoncé 
- Déterminer les racines carrées de $-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$ et de $-\frac 12-i\frac{\sqrt 3}2$.
- En déduire les solutions de l'équation $z^4+z^2+1=0$.
Indication 
- Pour trouver la deuxième racine, on pourra utiliser le conjugué.
- Poser $Z=z^2$.
Corrigé
- Cherchons d'abord les nombres complexes $z=x+iy$ tels que $z^2=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$. On peut utiliser la méthode usuelle en posant $z=x+iy$ et en remarquant que $z^2=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$ entraîne, en comparant les parties réelles, les parties imaginaires et les modules de chacun des nombres complexes, le système
$$\left\{\begin{array}{rcl}
x^2-y^2&=&-\frac{1}2\\
2xy&=&\frac{\sqrt 3}2\\
x^2+y^2&=&1
\end{array}\right.$$
La résolution de ce système donne $2x^2=1/2$ et donc $x=1/2$ ou $x=-1/2$. Si $x=1/2$, alors $y=\sqrt 3/2$ et si $x=-1/2$, alors $y=-\sqrt 3/2$. Les deux racines carrées de $-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$ sont donc
$$\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2\textrm{ et }-\frac 12-i\frac{\sqrt 3}2.$$
On aurait pu aussi passer par la forme exponentielle : en effet, on peut écrire que
$$-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2=e^{2i\pi/3}.$$
Ses racines carrées sont donc $e^{i\pi/3}$ et $-e^{i\pi/3}$.
En effectuant le même calcul, on trouve que les racines carrées de $-\frac 12-i\frac{\sqrt 3}2$ sont
$$\frac 12-i\frac{\sqrt 3}2\textrm{ et }-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2.$$
- Posons $Z=z^2$. L'équation devient $Z^2+Z+1=0$. Son discriminant vaut $\Delta=-3=(\sqrt 3 i)^2$ et ses racines sont
$$Z_1=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2\textrm{ et }Z_2=-\frac 12-i\frac{\sqrt 3}2.$$
On trouve les solutions de l'équation initiale en résolvant les équations $z^2=Z_1$ et $z^2=Z_2$, ce qu'on vient de faire. L'ensemble des solutions est donc
$$\mathcal S=\left\{\frac 12-i\frac{\sqrt 3}2; -\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2;
\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2;-\frac 12-i\frac{\sqrt 3}2\right\}.$$
