Enoncé 
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N^*}$ la suite définie par $u_1=3$ et pour tout $n\geq 1$, $u_{n+1}=\frac 2n\sum_{k=1}^n u_k$. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a $u_n=3n$.
Corrigé 
On va procéder par récurrence forte sur $n\in\mathbb N^*$. Pour $n\in\mathbb N^*$, on note $\mathcal P(n)$ la propriété $" u_n=3n"$.
Initialisation : On a $u_1=3$ et donc $\mathcal P(1)$ est vraie.
Hérédité : Soit $n\in\mathbb N^*$ et supposons que $\mathcal P(1),\dots,\mathcal P(n)$ sont vraies. Alors
\begin{align*}
u_{n+1}&=\frac 2n\sum_{k=1}^n u_k\\
&=\frac 2n \sum_{k=1}^n 3k\\
&=\frac 6n\times \frac{n(n+1)}2
\end{align*}
où on a utilisé que $\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}2$. On en déduit que
$$u_{n+1}=3(n+1)$$
et donc que $\mathcal P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : par le principe de récurrence forte, $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geq 1$.
