On écrit en développant le produit
$$\sum_{k=-5}^{15}k(10-k)=10\sum_{k=-5}^{15}k-\sum_{k=-5}^{15}k^2.$$
Étudions ensuite la première somme en la découpant en deux :
\begin{align*}
S_1=\sum_{k=-5}^{15}k&=\sum_{k=-5}^0 k +\sum_{k=1}^{15}k
\end{align*}
Dans la première de ces deux sommes, on fait le changement de variables $\ell=-k$. Lorsque $k$ va de $-5$ à $0$, $\ell$ va de $0$ à $5$. On trouve donc que
\begin{align*}
S_1&=-\sum_{\ell=0}^5 \ell+\sum_{k=1}^{15}k\\
&=-\frac{5\times 6}2+\frac{15\times 16}2\\
&=105.
\end{align*}
Pour la deuxième somme, on fait le même raisonnement :
\begin{align*}
S_2=\sum_{k=-5}^{15}k^2&=\sum_{k=-5}^0 k^2 +\sum_{k=1}^{15}k^2\\
&=\sum_{\ell=0}^5(-\ell)^2+\sum_{k=1}^{15}k^2\\
&=\sum_{\ell=0}^5 \ell^2+\sum_{k=1}^{15}k^2\\
&=\frac{5\times 6\times 11}{6}+\frac{15\times 16\times 31}6=1295.
\end{align*}
Finalement, on trouve
$$\sum_{k=-5}^{15} k(10-k)=1050-1295=-245.$$
On peut vérifier cette somme par un petit programme Python :
S=0
for k in range(-5,16):
S+=k*(10-k)
print(S)
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