Enoncé 
Soit $n\geq 1$ et soit $a_0,\dots,a_n$ des réels distincts deux à deux. Montrer que l'application $\varphi:\mathbb R_n[X]\times\mathbb R_n[X]\to\mathbb R$
définie par $\varphi(P,Q)=\sum_{i=0}^n P(a_i)Q(a_i)$ définit un produit scalaire sur $\mathbb R_n[X]$.
Corrigé 
Il est d'une part très facile (et laisser au lecteur) de vérifier que $\varphi$ est une forme bilinéaire symétrique
(ie $\varphi(P_1+\lambda P_2,Q)=\varphi(P_1,Q)+\lambda\varphi(P_2,Q)$ et $\varphi(P,Q)=\varphi(Q,P)$). D'autre part,
pour tout $P\in\mathbb R_n[X]$, on a $\varphi(P,P)=\sum_{i=0}^n (P(a_i))^2$. Cette quantité est positive ou nulle.
De plus, si elle est nulle, c'est-à-dire si $\varphi(P,P)=0$, alors comme on considère la somme de $n+1$ quantités positives ou nulles, chacune de ces
quantités doit être nulle, et donc, pour tout $i=0,\dots,n$, on a $P(a_i)=0$. Ainsi, $P$ est un polynôme de degré inférieur
ou égal à $n$ admettant au moins $n+1$ racines. Ainsi, $P$ est le polynôme nul.
On a donc démontré que $\varphi$ est une forme bilinéaire, symétrique, et définie positive : c'est un produit scalaire sur $\mathbb R_n[X]$.
