Enoncé 
On considère l'application linéaire $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ définie par $f(x,y,z)=(2x-2z,y,x-z)$. $f$ est-elle une symétrie? une projection? Déterminer une base de ses éléments caractéristiques.
Corrigé 
On vérifie facilement que
$$f\circ f(x,y,z)=(2(2x-2z)-2(x-z),y,2x-2z-x+z)=(2x-2z,y,x-z)=f(x,y,z).$$
On a donc $f\circ f=f$ et $f$ est une projection, sur $\textrm{Im}(f)$ et parallèlement à $\ker(f)$. Déterminons une base de $\ker(f)$. On a
$$f(x,y,z)=0\iff \left\{
\begin{array}{rcl}
2x-2z&=&0\\
y&=&0\\
x-z&=&0
\end{array}\right. \iff
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&z\\
y&=&0\\
z&=&z
\end{array}\right.$$
Une base de $\ker(f)$ est donc donnée par le vecteur $u=(1,0,1)$.
Déterminons ensuite une base de $\textrm{Im}(f)$. On sait que $(f(e_1),f(e_2),f(e_3))$ est une famille génératrice de $\textrm{Im}(f)$. Ce n'est pas une base, puisque $f(e_3)=(-2,0,-1)=-f(e_1)$. Posons ensuite $v=(2,0,1)=f(e_1)$ et $w=(0,1,0)=f(e_2)$. Alors $(v,w)$ est une famille génératrice de $\textrm{Im}(f)$ et c'est aussi une famille libre : $(v,w)$ est une base de $\textrm{Im}(f)$.
- Projection ou symétrie
